Dalam Matematika, pengertian himpunan merupakan kumpulan objek yang sifatnya bisa didefinisikan dengan jelas atau pengertian lain dari himpunan adalah kumpulan dari sesuatu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Kumpulan objek dapat juga disebut sebagai himpunan jika memiliki nilai pasti.
Contoh:
1. Kumpulan hewan berkaki empat
Pada nomor 1, kumpulan hewan berkaki empat bisa dikatakan sebagai himpunan karena semua orang memiliki persepsi atau pemikiran yang sama mengenai hewan berkaki empat seperti kucing, anjing, kuda, sapi, rusa, kambing, dan lain sebagainya.
2. Kumpulan roti enak
Nomor 2 atau kumpulan roti enak tidak dapat dikatakan sebagai himpunan karena semua orang mempunyai selera yang sama terhadap roti yang enak sehingga definisinya menjadi tidak pasti. Roti yang kalian anggap enak belum tentu orang lain sependapat, begitu pula sebaliknya.
3. Bentuk Aljabar dan Operasinya
Istilah aljabar diadaptasi dari bahasa Arab, yakni al-jabr yang artinya ialah pertemuan, hubungan, dan perampungan. Aljabar merupakan salah satu cabang
Ilmu matematika yang mengulas mengenai struktur, hubungan, serta kuantitas. Di dalam Aljabar secara umum terdapat simbol yang berupa huruf sebagai wakil dari bilangan umum dengan bentuk yang lebih sederhana untuk dipecahkan.
Dalam aljabar, dikenal beberapa unsur, yakni:
- Variabel: lambang aljabar yang dinyatakan dalam huruf kecil
- Koefisien: lambang bilangan yang memuat suatu variabel
- konstanta: bilangan yang enggak memuat suatu variabel
- faktor: bagian dari suatu hasil kali dan suku merupakan bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi hitung.
Operasi Hitung Pada Aljabar
1. Penjumlahan dan Pengurangan
Dalam aljabar, penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan oleh suku-suku yang jenisnya sama. Koefisien pada suku-suku sejenis tersebutlah yang akan dijumlahkan dan dikurangi.
Misalnya:
4x + 7x = 11x (dapat dijumlahkan karena sejenis)
9x – 4y =….. (tidak dapat dikurangkan karena tidak sejenis)
2. Perkalian
Perkalian pada bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yakni
a x (b+c) = (a x b) + (a x c).
Sedangkan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yakni
a x (b – c) = (a x b) – (a x c) untuk tiap bilangan bulat a, b, dan c.
3. Perpangkatan
Operasi hitung dalam perpangkatan artinya perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal tersebut juga berlaku sama pada operasi hitung dengan bentuk aljabar. Perpangkatan aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menggunakan segitiga Pascal. Misalnya ketika kamu diminta untuk menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, n ialah bilangan asli.
(a+b)n = a + b
(a + b)³ = a + b (a + b)²
(a + b)² = (a + b) (a + b) = a² + ab + ab + b²
a² + 2ab + b² = (a + b)³ = a + ba + b² = a + ba + 2ab + b²
= a³ + 2a²b+ ab² + a²b + 2ab² + b² = a³ + 3a²b +3ab³
4. Pembagian
Hasil dari membagi dua bentuk aljabar dapat diperoleh dengan menentukan faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut terlebih dulu, kemudian lakukan pembagian pada pembilang dan juga penyebutnya.
5. Substitusi pada Bentuk Aljabar
Nilai dari suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara mensubstitusikan sembarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.
6. Menentukan KPK dan FPB pada Aljabar
Untuk menentukan KPK dan FPB dalam bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar menjadi perkalian dari faktor-faktor primanya.
Contoh soal operasi hitung Aljabar:
- Selesaikan bentuk aljabar di bawah ini [3x – 2y] – [x – 3y]!
Jawab:
= [3x – 2y] – [x – 3y]
= 3x – x – 2y – 3y
= 2x + [-5]y
= 2x – 5y
- Selesaikan bentuk aljabar berikut [7x + 5y – 3] + [7x + 12y – 1]!
Jawab:
= 7x + 7x + 5y +12y – 3 – 1
= 14x + 17y – 4
4. Persamaan dan Pertidakasamaan Linear Satu Variabel
a. Memahami Konsep Persamaan Linear Satu Variabel
Kalimat terbuka merupalan kalimat yang belum bisa ditentukan nilai kebenarannya, bernilai benar saja atau salah saja karena terdapat unsur yang belum diketahui nilainya. Variabel merupakan simbol atau lambang yang mewakili tiap-tiap anggota dari suatu himpunan semesta. Variabel secara umum dilambangkan dengan huruf kecil.
Contoh :
x + 2 = 6, pengganti x yang benar adalah 4. Jadi, selesaiannya adalah
x = 4, dan himpunan selesaiannya adalah {4}.
p adalah bilangan ganjil, p ∈ {1, 2, 3, …, 10}.
Pengganti p supaya pernyataan bernilai benar adalah 1, 3, 5, 7, dan 9.
Jadi, himpunan selesaiannya adalah {1, 3, 5, 7, 9}.
5x + 2 = 9, dengan x ∈ himpunan bilangan asli.
Tidak ada pengganti x yang membuat pernyataan menjadi benar.
Jadi, himpunan selesaiannya adalah ∅ atau { }
b. Menyelesaikan Persamaan Menggunakan Penjumlahan atau Pengurangan
Perhatikan persamaan-persamaan berikut.
- x + 1 = 3
- x + 2 = 4
- 2x − 2 = 6
Ketiga persamaan tersebut memiliki himpunan selesaian yang sama. Persamaan-persamaan tersebut dapat dikatakan sebagai persamaan yang ekuivalen atau persamaan yang setara. Persamaan yang ekuivalen bisa dimodelkan sebagai timbangan yang seimbang, lalu kedua lengan ditambah maupun dikurangi oleh beban yang sama, tetapi timbangan masih dalam keadaan yang seimbang.
Contoh :
Tentukan himpunan selesaian dari 12 + x = 40
Jawab:
12 + x = 40
12 – 12 + x = 40 – 12
x = 28
12 + x = 40
12 + (28) = 40
40 = 40 (benar)
Jadi, himpunan selesaiannya adalah {28}.
c. Menyelesaikan Persamaan Menggunakan Perkalian atau Pembagian
Pada kegiatan ini akan diperluas lagi dengan menggunakan operasi perkalian dan pembagian untuk menyelesaikan persamaan.
Contoh :
Tentukan selesaian dari persamaan 2(x − 4) +5x = 34
Jawab :
Sebelum menyelesaikannya, kita harus menyederhanakan bentuk aljabar di sisi kiri.
2(x − 4) +5x = 34
2x − 8 +5x = 34
7x − 8 = 34
7x − 8 + 8 = 34 + 8
7x = 42
7x/7 = 42/7
x = 6
Jadi, himpunan selesaian dari persamaan adalah {6}.
d. Menemukan Konsep Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Contoh :
Tulislah kalimat berikut menjadi sebuah pertidaksamaan linear satu variabel. Suatu bilangan m ditambah 5 hasilnya lebih dari atau sama dengan −7.
Jawab :
Suatu bilangan m ditambah 5 hasilnya lebih dari atau sama dengan −7.
m + 5 ≥ −7
Jadi, pertidaksamaan dari kalimat tersebut adalah m + 5 ≥ −7.
e. Menyelesaikan Masalah Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan, ada kalanya Grameds diwajibkan memakai berbagai sifat ketidaksamaan. Ketika Grameds menambahkan maupun mengurangi kedua sisi dari pertidaksamaan, tanda ketidaksamaan tidak berubah.
Jika a < b maka a + c < b + c
Jika a > b maka a + c > b + c
Perhatikan contoh berikut.
−4 < 2
−4 + 3 < 2 + 3
−1 < 5
Jika a < b maka a − c < b − c
Jika a > b maka a − c > b − c
Perhatikan contoh berikut.
−1 < 2
−4 − 5 < 2 − 5
−6 < −3
Sifat ini juga berlaku untuk ≤ dan ≥.
Contoh :
Selesaikan pertidaksamaan x − 4 < − 2. Gambar selesaiannya dalam garis bilangan dan tuliskan selesaiannya dalam notasi interval.
Penyelesaian Alternatif :
x − 4 < − 2
x − 4 + 4 < − 2 + 4
x < 2
Jadi, selesaiannya adalah x < 2 atau (−∞, 2).
0 Komentar